DrMartinBachmaier
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Machen wir mal Männer und Frauen.
Die Männer nummerieren wir durch mit
0, 1, 2, 3, 4, . . .
Die Frauen nummerieren wir durch mit
1, 2, 3, 4, . . .
Dann schaut es so aus, als wären die Männer um einen mehr, nämlich um die Nummer 1. Das darf man aber mathematisch nicht so formulieren. Denn es sind sowohl abzählbar unendlich viele Frauen als auch abzählbar unendlich viele Männer.
Die beiden Mengen
M …More
Machen wir mal Männer und Frauen.
Die Männer nummerieren wir durch mit
0, 1, 2, 3, 4, . . .
Die Frauen nummerieren wir durch mit
1, 2, 3, 4, . . .
Dann schaut es so aus, als wären die Männer um einen mehr, nämlich um die Nummer 1. Das darf man aber mathematisch nicht so formulieren. Denn es sind sowohl abzählbar unendlich viele Frauen als auch abzählbar unendlich viele Männer.
Die beiden Mengen
M = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} und
F= {1, 2, 3, 4, . . .}
sind also gleich mächtig. Was man hier aber sagen darf, ist, dass die Menge der Frauen-Nummern eine Teilmenge der Menge der Männer-Nummern sind, während das Umgekehrte nicht gilt.
Warum soll man nicht sagen, dass in M eine Männernummer mehr steckt als in F, nämlich die Nummer 0. Man kann doch zuordnen
Mann 0 kriegt keine Frau
Mann 1 heiratet Frau 1
Mann 2 heiratet Frau 2
Mann 3 heiratet Frau 3
usw.
Also werden alle Frauen verheiratet, während ein unverheirateter Mann übrig bleibt.
Man kann aber auch eine andere Heiratspolitik betreiben:
Mann 0 heiratet Frau 100
Mann 1 heiratet Frau 200
Mann 2 heiratet Frau 300
Mann 2 heiratet Frau 400
usw.
Also werden alle Männer verheiratet, während bei den Frauen "99%" unverheiratet bleiben. Wir haben also anscheinend 100mal soviele Frauen wie Männer, obwohl doch die Frauen nur eine Teilmenge der Männer sind.
Deswegen spricht man bei unendlichen Mengen nicht von "viele" oder "mehr", sondern von Mächtigkeiten Aleph 0, Aleph 1, Aleph 2 usw. Dummerweise hat aber Gödel nachgewiesen, dass es Mengen gibt, deren Mächtigkeit nicht eindeutig bestimmbar ist, denen man also etwa sowohl die Mächtigkeit Aleph 2 als auch die Mächtigkeit Aleph 3 zuordnen kann. Das bringt dann die Grundfeste der Mathematik ins Wanken.
Denn wenn ich mit
G = diese Gödelmenge mit Mächtigkeit Aleph 2 oder auch 3
N = Natürliche Zahlen (Mächtigkeit Aleph 0)
R = Reelle Zahlen (Mächtigkeit Aleph 1),
dann kann muss es nach dem Potenzmengenaxiom auch die Menge
M = {G, N, R}
geben,
und nach dem Auswahlaxiom muss ich aus dieser Menge M eine Menge mit einer gewissen Eigenschaft auswählen können. Es muss also auch die Menge A aller Mengen in M mit der Eigenschaft, sie habe Mächtigkeit Aleph 2 geben.
Wie sieht die nun aus?
Ist A ={} oder A={G}?
Es muss sie aber eindeutig geben, sonst bricht die Mathematik zusammen. Professor Hartmann sagte mir, dass man da eine neues Axiom aufstellen müsse, dass man etwa die kleinere Aleph-Zahl per Axiom festlegt. Dann hätte G die Mächtigkeit Aleph 2, und A wäre mit
A ={G}
eindeutig festgelegt.
Die Männer nummerieren wir durch mit
0, 1, 2, 3, 4, . . .
Die Frauen nummerieren wir durch mit
1, 2, 3, 4, . . .
Dann schaut es so aus, als wären die Männer um einen mehr, nämlich um die Nummer 1. Das darf man aber mathematisch nicht so formulieren. Denn es sind sowohl abzählbar unendlich viele Frauen als auch abzählbar unendlich viele Männer.
Die beiden Mengen
M = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} und
F= {1, 2, 3, 4, . . .}
sind also gleich mächtig. Was man hier aber sagen darf, ist, dass die Menge der Frauen-Nummern eine Teilmenge der Menge der Männer-Nummern sind, während das Umgekehrte nicht gilt.
Warum soll man nicht sagen, dass in M eine Männernummer mehr steckt als in F, nämlich die Nummer 0. Man kann doch zuordnen
Mann 0 kriegt keine Frau
Mann 1 heiratet Frau 1
Mann 2 heiratet Frau 2
Mann 3 heiratet Frau 3
usw.
Also werden alle Frauen verheiratet, während ein unverheirateter Mann übrig bleibt.
Man kann aber auch eine andere Heiratspolitik betreiben:
Mann 0 heiratet Frau 100
Mann 1 heiratet Frau 200
Mann 2 heiratet Frau 300
Mann 2 heiratet Frau 400
usw.
Also werden alle Männer verheiratet, während bei den Frauen "99%" unverheiratet bleiben. Wir haben also anscheinend 100mal soviele Frauen wie Männer, obwohl doch die Frauen nur eine Teilmenge der Männer sind.
Deswegen spricht man bei unendlichen Mengen nicht von "viele" oder "mehr", sondern von Mächtigkeiten Aleph 0, Aleph 1, Aleph 2 usw. Dummerweise hat aber Gödel nachgewiesen, dass es Mengen gibt, deren Mächtigkeit nicht eindeutig bestimmbar ist, denen man also etwa sowohl die Mächtigkeit Aleph 2 als auch die Mächtigkeit Aleph 3 zuordnen kann. Das bringt dann die Grundfeste der Mathematik ins Wanken.
Denn wenn ich mit
G = diese Gödelmenge mit Mächtigkeit Aleph 2 oder auch 3
N = Natürliche Zahlen (Mächtigkeit Aleph 0)
R = Reelle Zahlen (Mächtigkeit Aleph 1),
dann kann muss es nach dem Potenzmengenaxiom auch die Menge
M = {G, N, R}
geben,
und nach dem Auswahlaxiom muss ich aus dieser Menge M eine Menge mit einer gewissen Eigenschaft auswählen können. Es muss also auch die Menge A aller Mengen in M mit der Eigenschaft, sie habe Mächtigkeit Aleph 2 geben.
Wie sieht die nun aus?
Ist A ={} oder A={G}?
Es muss sie aber eindeutig geben, sonst bricht die Mathematik zusammen. Professor Hartmann sagte mir, dass man da eine neues Axiom aufstellen müsse, dass man etwa die kleinere Aleph-Zahl per Axiom festlegt. Dann hätte G die Mächtigkeit Aleph 2, und A wäre mit
A ={G}
eindeutig festgelegt.
DrMartinBachmaier
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Die Frage hier habe ich in diesem Video beantwortet. Vielleicht sollte ich die Antwort da hineinkopieren, aber erst schaue ich mir das Video des Professors hier an, um evtl. die Antwort anzupassen.
regina christina tietje
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Dann hatte ich also recht und es geht an diesem Beispiel nur in die eine Richtung. Was wäre wenn es - 1 -2 -3 usw. gäbe, das hieße es müsste dann auch in die negative Richtung gehen, wenn es eine echte Unendlichkeit wäre oder wie könnte man es definieren?
regina christina tietje
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Wenn es in die andere Richtung gehen würde wäre der Eingang genau in der Mitte zwischen der negativen Unendlichkeit und der positiven Unendlichkeit der Eingang läge also geradeaus vor Zimmer eins.
DrMartinBachmaier
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Wenn Sie auch negative Nummern haben und alles nach links verschieben, haben Sie kein Zimmer freigekriegt. Wenn Sie aber jede nichtpositive (>0) Zahl (also 0 und die negativen) nach links verschieben, haben Sie Zimmer 0 freigekriegt. Wenn Sie die positiven nach rechts und die negativen nach links verschieben, kriegen Sie Zimmer 1 und Zimmer -1 frei.
In allen Fällen beträgt die Mächtigkeit der Zimmer …More
Wenn Sie auch negative Nummern haben und alles nach links verschieben, haben Sie kein Zimmer freigekriegt. Wenn Sie aber jede nichtpositive (>0) Zahl (also 0 und die negativen) nach links verschieben, haben Sie Zimmer 0 freigekriegt. Wenn Sie die positiven nach rechts und die negativen nach links verschieben, kriegen Sie Zimmer 1 und Zimmer -1 frei.
In allen Fällen beträgt die Mächtigkeit der Zimmer (wie auch der Gäste) "abzählbar unendlich",(Aleph 0), und ein Zimmer mit der Nummer "plus unendlich" oder "minus unendlich" gibt es nicht. Ich brauche keine "Zahl" unendlich, um unendlich viele Zahlen zu haben. Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, . . . (ohne Ende, aber keine "Zahl" unendlich dabei) wie auch die ganzen Zahlen (die zusätzlich die negativ-natürlichen Zahlen enthalten) sind jeweils abzählbar unendlich viele, weil es eine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen gibt.
Links natürliche Zahl, Rechts ganze Zahl:
1 wird 0 zugeordnet
2 wird +1 zugeordnet
3 wird -1 zugeordnet
4 wird +2 zugeordnet
5 wird -2 zugeordnet
6 wird +3 zugeordnet
7 wird -3 zugeordnet
usw.
Wenn man alle Zahlen, wie hier bijektiv den natürlichen Zahlen (links) zuordnen kann, dann spricht man von abzählbar unendlich vielen Zahlen. Auch alle rationalen Zahlen (Brüche) sind abzählbar unendlich viele, nicht mehr aber die reellen Zahlen (Menge R), wo dann auch pi dabei ist. Da spricht man dann von Überabzählbarkeit Aleph 1. Die Menge aller Funktionen von R nach R ist überabzählbar Aleph 2, ist also wieder einen Mächtigkeitsgrad höher.
In allen Fällen beträgt die Mächtigkeit der Zimmer (wie auch der Gäste) "abzählbar unendlich",(Aleph 0), und ein Zimmer mit der Nummer "plus unendlich" oder "minus unendlich" gibt es nicht. Ich brauche keine "Zahl" unendlich, um unendlich viele Zahlen zu haben. Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, . . . (ohne Ende, aber keine "Zahl" unendlich dabei) wie auch die ganzen Zahlen (die zusätzlich die negativ-natürlichen Zahlen enthalten) sind jeweils abzählbar unendlich viele, weil es eine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen gibt.
Links natürliche Zahl, Rechts ganze Zahl:
1 wird 0 zugeordnet
2 wird +1 zugeordnet
3 wird -1 zugeordnet
4 wird +2 zugeordnet
5 wird -2 zugeordnet
6 wird +3 zugeordnet
7 wird -3 zugeordnet
usw.
Wenn man alle Zahlen, wie hier bijektiv den natürlichen Zahlen (links) zuordnen kann, dann spricht man von abzählbar unendlich vielen Zahlen. Auch alle rationalen Zahlen (Brüche) sind abzählbar unendlich viele, nicht mehr aber die reellen Zahlen (Menge R), wo dann auch pi dabei ist. Da spricht man dann von Überabzählbarkeit Aleph 1. Die Menge aller Funktionen von R nach R ist überabzählbar Aleph 2, ist also wieder einen Mächtigkeitsgrad höher.
Wenn es in beide Richtungen geht ( ganze Zahlen), ist der Eingang immer in der Mitte, egal wo ich ihn ansetze.
Egal von welchem Punkt man schaut, es geht immer unendlich weiter in beide Richtungen.
Das erinnert mich an Nicoalus Cusanus, der sich schon vor 600 Jahren als Mathematiker ( hauptamtlich war er kirchlicher Würdenträger) mit dem Unendlichen auseinandersetzte. Er kam zum Schluss, dass das …More
Wenn es in beide Richtungen geht ( ganze Zahlen), ist der Eingang immer in der Mitte, egal wo ich ihn ansetze.
Egal von welchem Punkt man schaut, es geht immer unendlich weiter in beide Richtungen.
Das erinnert mich an Nicoalus Cusanus, der sich schon vor 600 Jahren als Mathematiker ( hauptamtlich war er kirchlicher Würdenträger) mit dem Unendlichen auseinandersetzte. Er kam zum Schluss, dass das Zentrum des Universums gleichzeitig überall und doch nirgends ist.
Egal von welchem Punkt man schaut, es geht immer unendlich weiter in beide Richtungen.
Das erinnert mich an Nicoalus Cusanus, der sich schon vor 600 Jahren als Mathematiker ( hauptamtlich war er kirchlicher Würdenträger) mit dem Unendlichen auseinandersetzte. Er kam zum Schluss, dass das Zentrum des Universums gleichzeitig überall und doch nirgends ist.
DrMartinBachmaier
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Da geht Cusanus mal davon aus, dass das Universum unendlich groß ist. Kann er ja.
Wenn ich dann etwas als Zentrum definiere, wo zu allen Seiten hin eine Menge mit derselben Mächtigkeit liegt, dann ist jeder Ort dieses unendlich großen Universums ein Zentrum.
Wenn er unter Zentrum aber einen eindeutig festgelegten Punkt versteht, dann muss er mal genauer definieren, also zusätzliche und hinreichend …More
Da geht Cusanus mal davon aus, dass das Universum unendlich groß ist. Kann er ja.
Wenn ich dann etwas als Zentrum definiere, wo zu allen Seiten hin eine Menge mit derselben Mächtigkeit liegt, dann ist jeder Ort dieses unendlich großen Universums ein Zentrum.
Wenn er unter Zentrum aber einen eindeutig festgelegten Punkt versteht, dann muss er mal genauer definieren, also zusätzliche und hinreichend viele Bedingungen zur Festlegung des Zentrums aufstellen. Tut er dies nicht, gibt es kein Zentrum im Sinne dieser Eindeutigkeit.
Wenn ich dann etwas als Zentrum definiere, wo zu allen Seiten hin eine Menge mit derselben Mächtigkeit liegt, dann ist jeder Ort dieses unendlich großen Universums ein Zentrum.
Wenn er unter Zentrum aber einen eindeutig festgelegten Punkt versteht, dann muss er mal genauer definieren, also zusätzliche und hinreichend viele Bedingungen zur Festlegung des Zentrums aufstellen. Tut er dies nicht, gibt es kein Zentrum im Sinne dieser Eindeutigkeit.
Markus Reban
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Es geht nicht von rechts nach links, sondern von links nach rechts, das erste Zimmer wird freigegeben, indem jeder Gast sein Zimmer um eine höhere Nummer (oder auch um 2 Nummern) wechselt. Und da es ja keine Grenze bei unendlicher Zimmeranzahl gibt, bleibt obenherum immer ein Zimmer frei..